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3.5: La función de potencia compleja

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La función de potencia compleja generalizada se define como:

$$f\left ( z \right )=z^{c}=exp\,\left ( c\,log\,z \right )$$, con$$z≠0$$. (1)

Debido a la naturaleza multivalorada de logzlogz, se deduce que (1) también es multivalorada para cualquier valor no entero de$$c$$, con un punto de ramificación en$$z=0$$. En otras palabras

$$f\left ( z \right )=z^{c}=exp\,\left ( c\,log\,z \right )=exp\left [ c\left ( Log\,z+2n\pi i \right ) \right ]$$, con$$n\in \mathbb{Z}$$.

Por otro lado, tenemos que la función exponencial generalizada, for$$c≠0$$, se define como:

$$f\left ( z \right )=c^{z}=exp\,\left ( z\,log\,c \right )=exp\left [ z\left ( Log\,c+2n\pi i \right ) \right ]$$, (2)

con$$n\in \mathbb{Z}$$.

Observe que (2) no posee ningún punto de ramificación (o cualquier otro tipo de singularidad) en el$$z$$ plano complejo infinito. Así, podemos considerar la ecuación (2) como definiendo un conjunto de funciones independientes de un solo valor para cada valor de$$n$$.

Esta es la razón por la cual la naturaleza multivalorada de la función$$f\left ( z \right )=z^{c}$$ difiere de la función multivalorada$$f\left ( z \right )=c^{z}$$.

Normalmente, el$$n=0$$ caso es el más útil, en cuyo caso, simplemente definiríamos:

$$w=c^{z}=exp\,\left ( z\,log\,c \right )=exp(z\,Log\,c)$$,

con$$c≠0$$.

Esto se ajusta a la definición de función exponencial

$$e^{z}=e^{x}(cos\,y+i\,sin\,y)$$

donde$$c=e$$ (la constante de Euler).

Utilice el siguiente applet para explorar las funciones (1) y (2) definidas en la región$$\left [ -3,3 \right ]\times \left [ -3,3 \right ]$$. El retrato de fase mejorado se utiliza con líneas de contorno de módulo y fase. Arrastre los puntos para cambiar el valor de$$c$$ en cada caso. También puedes desactivar las curvas de nivel, si quieres.

GRAFO INTERACTIVO

Nota final: En la práctica, muchos libros de texto tratan la función exponencial generalizada como una función de un solo valor$$c^{z}=exp(z\,Log\,c)$$,, sólo cuando$$c$$ es un número real positivo. Para cualquier otro valor de$$c$$, se prefiere la función$$c^{z}=exp(z\,Log\,c)$$ multivalorada.

This page titled 3.5: La función de potencia compleja is shared under a CC BY-NC-SA license and was authored, remixed, and/or curated by Juan Carlos Ponce Campuzano.
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